题目

题目描述

九条可怜有$b$块钱，她准备去超市买东西
超市有$n$样商品，其中第$i$个商品的价格是$c_i$元，并且每种商品只能购买一次
由于可怜是超市的忠实顾客，超市给了可怜$n$张优惠券，其中第$i$张优惠券可以让第$i$样商品的售价减少$d_i$
当然，可怜在使用优惠券时必须购买对应的商品
但是，优惠券的使用是有条件的
具体地，对于$i>1$，使用第$i$张优惠券时必须先使用第$x_i$张优惠券
那么，可怜用这$b$块钱最多可以购买多少商品呢？

输入格式

第一行两个整数$n,b$
接下来$n$行，第$i$行描述第$i$个商品及优惠券

若$i=1$，则有两个整数$c_i,d_i$

若$i>1$，则有三个整数$c_i,d_i,x_i$

输出格式

输出一个整数，表示可怜最多可以购买多少商品。

样例

样例输入1

样例输出1

样例输入2

样例输出2

数据范围与提示

对于$30\%$的数据，$n\leqslant 20$
对于$60\%$的数据，$n\leqslant 300$
对于$100\%$的数据，$1 \leqslant n \leqslant 5000,1 \leqslant b \leqslant 10^9,1 \leqslant d_i < c_i \leqslant 10^9,1 \leqslant x_i < i$

题解

这道题主要的难点在于处理“使用第$i$张优惠券时必须先使用第$x_i$张优惠券”这个问题
这非常容易让我们联想到树，我们把$i$向$x_i$连一条边，就可以构成一棵树
然后就很容易想到可以使用树形DP了
我们用$f_{i,j,k}$表示第$i$个节点，买了$j$个，用($k=1$)还是没用($k=0$)优惠券
简单计算一下，就可以得出递推式：
$f_{x,j+k,0}=min(f_{x,j+k,0},f_{x,j,0}+f_{y,k,0})$
$f_{x,j+k,1}=min(f_{x,j+k,1},f_{x,j,1}+min(f_{y,k,1},f_{y,k,0}))$
（其中，$y$为$x$的子节点）
附上代码：

#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,k,tot,t,ans,a[5010],b[5010],head[5010],nxt[5010],to[5010],size[5010];
long long f[5010][5010][2];
void add(int u,int v)
{
    nxt[++tot]=head[u],head[u]=tot,to[tot]=v;
}
void dfs(int x)
{
    f[x][0][0]=0,f[x][1][0]=a[x],f[x][1][1]=a[x]-b[x],size[x]=1;
    for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
        dfs(to[i]);
        for(int j=size[x];j>=0;j--) for(int k=0;k<=size[to[i]];k++){
            f[x][j+k][0]=min(f[x][j+k][0],f[x][j][0]+f[to[i]][k][0]);
            f[x][j+k][1]=min(f[x][j+k][1],f[x][j][1]+min(f[to[i]][k][1],f[to[i]][k][0]));
        }
        size[x]+=size[to[i]];
    } 
}
int main()
{
    freopen("supermarket.in","r",stdin);
    freopen("supermarket.out","w",stdout);
    scanf("%d%d%d%d",&n,&k,&a[1],&b[1]);
    for(int i=2;i<=n;i++) scanf("%d%d%d",&a[i],&b[i],&t),add(t,i);
    for(int i=0;i<=n;i++) for(int j=0;j<=n;j++) f[i][j][0]=f[i][j][1]=1e18;
    dfs(1);
    for(int i=n;i;i--) if(f[1][i][0]<=k||f[1][i][1]<=k){ans=i;break;}
    printf("%d",ans);
}