题目

题目描述

定义一个置换$P$的平方$Q$为对$[1,2,3,\cdots \cdots,n -1,n]$做两次该置换得到的排列，即$Q_i=P_{p_i}$
现在已知一个置换的平方，求该置换

输入格式

第一行一个整数$n$表示排列长度
第二行$n$个整数表示所求置换的平方

输出格式

若有解则输出一行$n$个数表示原置换（输出任意一个），否则输出$-1$

样例

样例输入

1
2

4
2 1 4 3

样例输出

3 4 2 1

数据范围与提示

$20\%$的数据：$n\leqslant 10$
$100\%$的数据：$1\leqslant n\leqslant 10^6$

题解

我们先来观察一下置换平方后是什么鬼
假设我们有一个置换：$(2,3,1,5,4)$
它可以被拆解为两个环：$[2,3,1][5,4]$
我们把它平方一下：$(3,1,2,4,5)$
发现它可以拆成三个环：$[3,1,2][4][5]$
我们发现，如果是一个偶环，平方后就拆开了，如果是一个奇环，就还会是一个奇环
得到了这个规律以后，我们就可以处理这道题了
先把平方后的结果拆成环，对于偶环，就两两合并，比如$[1,3,5]$和$[2,4,6]$合并为$[1,2,3,4,5,6]$；对于奇环，通过观察，可以发现，我们需要把它拆成两半之后合并，比如$[1,3,2]$拆成$[2,1][3]$合并为$[2,3,1]$（注意，这里的环指的并不是按照置换中的顺序排的，而是按遍历的顺序）
最后，对于输出$-1$的情况当然只有一个啦，那就是有奇数个偶环
附上代码：

#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
int n,Size,q[1000010],v[1000010],p[1000010];
vector<int> h[1000010],l[1000010];
int main()
{
    freopen("permutation.in","r",stdin);
    freopen("permutation.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&q[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int s=0;
        for(int j=i;!v[j];j=q[j]) v[j]=1,s++,h[i].push_back(j);
        l[s].push_back(i);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) if((!(i&1))&&(l[i].size()&1)){printf("-1");return 0;}
    memset(v,0,sizeof(v)),Size=l[1].size();
    for(int i=0;i<Size;i++) p[l[1][i]]=l[1][i]; 
    for(int i=2;i<=n;i++){
        Size=l[i].size();
        for(int j=0;j<Size;j++)
            if(i&1){
                int x=h[l[i][j]][0],y=h[l[i][j]][i/2+1];
                while(!v[x]) v[x]=v[y]=1,p[x]=y,x=q[x],p[y]=x,y=q[y];
            }
            else{
                int x=h[l[i][j]][0],y=h[l[i][j+1]][0];
                while(!v[x]&&!v[y]) v[x]=v[y]=1,p[x]=y,x=q[x],p[y]=x,y=q[y];
                j++;
            }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",p[i]);
}