一、不定积分
不定积分本质上就是导数的逆运算
注意！许多函数的积分是算不出来的，所以，不要随便问别人一个函数的积分
由于常数的导数为$0$，所以，一个不定积分的结果会是这样的：$\int f(x)dx=g(x)+C$，其中，$C$是一个常数
1、不定积分运算法则
(1)加减法
$\int f(x)dx+\int g(x)dx=\int \left(f(x)+g(x)\right)dx$
(2)乘除法
然而并没有这种东西……
2、求不定积分的常见方法
(1)第一类换元法
我之前讲过一个求导的公式——$(f(g(x)))’=f’(g(x))\times g‘(x)$（忘了？不知道？点这里），那么我们可以得到$\int f’(g(x))\times g’(x)dx=f(g(x))$，把$g‘(x)$塞到$dx$中变成$dg(x)$，也就是$\int f’(g(x))\times dg(x)=f(g(x))$——这个公式就是第一类换元法
第一类换元法的应用很广，接下来我举几个例子供大家参考
例1
求$\int sinx\cdot cosxdx$
法一：$\int sinx\cdot cosxdx=\int sinx\cdot (sinx)’dx=\int sinxdsinx=\frac{1}{2}(sinx)^2+C$
法二：$\int \frac{1}{2}sin2xdx=\int \frac{1}{4}sin2xd2x=-\frac{1}{4}cos2x+C$
注意！+C是不可省略的！+C是不可省略的！+C是不可省略的！
两种方法做的结果看似不一样，其实是一样的，只是在没有$+C$的情况下常数不同
这就是我强调要$+C$的原因
例2
求$\int \frac{dx}{1+e^x}$
$\int \frac{dx}{1+e^x}=\int \frac{e^xdx}{(1+e^x)e^x}=\int \frac{de^x}{e^x(1+e^x)}=\int \left(\frac{1}{e^x}-\frac{1}{e^x+1}\right)de^x=lne^x-ln\left(1+e^x\right)+C=x-ln\left(1+e^x\right)+C$
这一题巧妙地运用了$\left(e^x\right)’=e^x$的特殊性，再用第一类换元法和裂项解决
(2)第二类换元法
第二类换元法和第一类换元法很像，就是最后一步的变形：$\int f’(g(x))\times g’(x)dx=\int f’(g(x))\times dg(x)$
第二类换元法一般会和三角换元有关，基本上都是那种带根号的式子
例3
求$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$
设$x=sin\theta$
$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\int \frac{dsin\theta}{cos\theta}=\int \frac{cos\theta d\theta}{cos\theta}=\int d\theta=\theta+C=arcsinx+C$
这就是第二类换元法的应用，将$x$巧妙地进行三角换元，得到最后消掉的局面
大家不要小看这种换元方法，第二类换元法的题目可以出得很难
例4
求$\int \frac{t^2dt}{\sqrt[3]{t-5}}$
设$x=\sqrt[3]{t-5}$
$\int \frac{t^2dt}{\sqrt[3]{t-5}}=\int \frac{(x^6+10x^3+25)\cdot 3x^2dx}{x}=3\int (x^7+10x^4+25x)dx=3\cdot (\frac{1}{8}x^8+2x^5+\frac{25}{2}x^2)+C$（答案太丑了，不写了）
一看到题目，可能很多人就傻眼了——这东西能积分吗？答案是能的，只是很麻烦
看到题目的第一反应应该是先把那个恶心的根号换元，接着能不能做再说
(3)部分积分法
在求导的时候，我们学过一个公式——$(uv)’=u’v+uv’$，我们把两边同时积分，就可以得到$\int (uv)’dx=\int u’vdx+\int uv’dx+C$，左边的积分和求导抵消掉，变成$uv=\int u’vdx+\int uv’dx+C$
这个式子并不是最常用的，常用的是移项并用第二类换元法之后的结果——$\int udv=uv-\int vdu+C$
当$\int udv$不好求，但是$\int vdu$好求的时候，这个式子就排上用场啦！
例题5
求$\int xcosxdx$
$\int xcosdx=\int x(sinx)’dx=xsinx-\int (x)’sinxdx+C=xsinx-\int sinxdx+C=xsinx+cosx+C$
这一个看似奇怪的函数，却被我们几下搞定
这题巧用了$(x)’=1$的性质，把$x$消掉，变成$sinx$的积分
例题6
求$\int arctanxdx$
$\int arctanxdx=xarctanx-\int x\frac{dx}{x^2+1}+C=xarctanx-\frac{1}{2}\int \frac{d(x^2+1)}{x^2+1}+C=xarctanx-\frac{1}{2}ln(x^2+1)+C$
这题再次巧用$(x)’=1$的性质，无中生有一个$x$，最后又在把$x$丢到$dx$中的时候巧妙地加了一个常数，使得刚好凑成$\frac{1}{x}$的形式
例题7
求$\int e^xcosxdx$
$\int e^xcosxdx=\int e^xdsinx=e^xsinx-\int sinxe^xdx+C=e^xsinx+\int e^xdcosx+C=e^xsinx+e^xcosx-\int e^xcosxdx+C$
$\therefore 2\times\int e^xcosxdx=e^x(sinx+cosx)+C$
$\therefore \int e^xcosxdx=\frac{e^x(sinx+cosx)}{2}+C$
这题巧妙运用$\left((cosx)’\right)’=-cosx$的循环性，制造出一个循环，再除以二
(4)一种有理函数求积分的好方法
在计算一个有理函数$\frac{p(x)}{q(x)}$的积分时，我们可以采用接下来介绍的一种方法
这种方法很复杂，初学者建议跳过
a、部分分式化
在求有理函数的积分前，我们先要对这个函数进行一些操作，在我以前学数竞的时候，老师曾经告诉过我们，这是一个求微积分才会用到的知识
首先，我们要先将这个函数中的$0$次及以上的系数分离，就是做一次大除法（不要问我大除法是什么，就是多项式除法，因为我没办法写竖式，所以无法展示出计算过程）
假设$p(x)\div q(x)=r(x)\cdots\cdots s(x)$，那么我们直接处理$\frac{s(x)}{q(x)}$就可以了
第二步，把q(x)分解质因式，假设是$a_1(x)^{b_1}\cdot a_2(x)^{b_2}\cdots\cdots a_k(x)^{b_k}$
第三步，把整个式子拆成这样：$\frac{p(x)}{q(x)}=\sum\limits_{i=1}^{k}\sum\limits_{j=1}^{b_i}\frac{\sum\limits_{l=0}^{a_i(x)\text{的次数}-1} \text{一个系数}\times x^l}{(a_i(x))^j}$
相信大家看了这个式子后一定是懵逼的，所以我来举个例子
比如$q(x)=(x-1)(x+4)^3(x^2+4x+7)(3x^2-x+1)$，我们就把这个式子拆成$\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x+4)^3}+\frac{C}{(x+4)^2}+\frac{D}{x+4}+\frac{Ex+F}{x^2+4x+7}+\frac{Gx+H}{3x^2-x+1}$
那这个式子要怎么拆开呢？接下来我就再举一个例子
例题8
把$\frac{x+2}{x^2-1}$部分分式化
首先，这个函数可以拆成$\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}$
所以，我们可以把$\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}$合并起来，得到$\frac{A(x+1)+B(x-1)}{x^2-1}=\frac{x+2}{x^2-1}$
把分母消掉并合并同类项：$x+2=(A+B)x+(A-B)$
这样，我们就可以得到一个方程组：$\begin{cases}A+B=1\\A-B=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}A=\frac{3}{2}\\B=-\frac{1}{2}\end{cases}$
所以，$\frac{x+2}{x^2-1}$部分分式化的结果就是$\frac{\frac{3}{2}}{x-1}-\frac{\frac{1}{2}}{x+1}$
b、积分！
做完部分分式化的操作后，我们终于到了积分的环节
我们把这个式子部分分式化了之后，我们就可以逐个来积分了
首先我们来解决最简单的$q(x)$是一次的形式：$\int \frac{1}{ax+b}dx$
设$t=ax+b$
$\int \frac{1}{t}dx=\int \frac{1}{t}d(\frac{t-b}{a})=\frac{1}{a}\int \frac{1}{t}dt=\frac{1}{a}lnt+C=\frac{1}{a}ln(ax+b)+C$
大家觉得这个结果对吗？
答案是：这个结果是错的！错的！错的！
为什么？这看起来没有错啊
问题在于当$ax+b<0$时，就不能取对数了，所以正确答案是$\frac{1}{a}ln|ax+b|+C$
处理完一次式，我们再来处理一下二次式$\int \frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}dx$
首先，我们进行配方$ax^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$
设$x+\frac{b}{2a}=t$
$\int \frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}dx=\int \frac{At+B-\frac{b}{2a}}{at^2-\frac{4ac-b^2}{4a}}dt=A\int \frac{t}{at^2+\frac{4ac-b^2}{4a}}dt+(B-\frac{b}{2a})\int \frac{1}{at^2+\frac{4ac-b^2}{4a}}dt$
现在的式子有点非常恶心，所以我们分两边处理
$\int \frac{t}{at^2-\frac{4ac-b^2}{4a}}dt=\frac{1}{2a}\int \frac{2at}{at^2+\frac{4ac-b^2}{4a}}dt=\frac{1}{2a}\int \frac{1}{at^2+\frac{4ac-b^2}{4a}}d\left(at^2\right)=\frac{1}{2a}ln|at^2+\frac{4ac-b^2}{4a}|+C=\frac{1}{2a}ln|ax^2+bx+c|+C$
至于右边，只需要记住一个公式：$\int \frac{1}{x^2+a^2}dt=\frac{1}{a}arctan\left(\frac{x}{a}\right)+C$（这其实就是一份第二类换元法，可以参照例3的做法）
问题是，我的式子中的所谓的$a^2$是$\frac{4ac-b^2}{4a}$！它大于0吗？
现在，你终于要知道我们为啥要部分分式化了
之所以这是一个二次式，是因为它无法因式分解！所以，它的$\Delta=b^2-4ac<0$！所以，$\frac{4ac-b^2}{4a}$大于0
所以，$\int \frac{1}{at^2+\frac{4ac-b^2}{4a}}dt=\frac{1}{\sqrt{\frac{4ac-b^2}{4a}}}arctan\left(\frac{\sqrt{a}t}{\sqrt{\frac{4ac-b^2}{4a}}}\right)+C$
最后，我们把这两个部分合起来，$\int \frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}dx=\frac{A}{2a}ln|ax^2+bx+c|+\frac{B-\frac{b}{2a}}{\sqrt{\frac{4ac-b^2}{4a}}}arctan\left(\frac{\sqrt{a}x+\sqrt{a}\frac{b}{2a}}{\sqrt{\frac{4ac-b^2}{4a}}}\right)+C$
又是一个令人无语的式子，这个式子太复杂了，以至于我相信没有人能背下来（包括我）
一般这种题目不会出得这么恶心，会出一些凑好的数给你
对于更高次的积分，你就只需要像二次一样，把它降次打击，就可以了
说着简单，做起来却很难
所以我告诫大家：积分千万条，生命第一条，积分用手算，一天写不完
方法总结
相信大家已经对这种有理函数求积分的好方法有了一定的了解，我给大家总结一下这种方法的步骤
- 先看分子分母最高项的次数，如果有必要请做除法
- 对分母进行因式分解
- 分部
- 计算常数的值（以上为部分分式化内容）
- 积分
例题9
求$\int \frac{x^5-7x^4+19x^3-10x^2-19x+18}{x^4-5x^3+9x^2}dx$
$\int \frac{x^5-7x^4+19x^3-10x^2-19x+18}{x^4-5x^3+9x^2}dx=\int \left(x-2+\frac{8x^2-19x+18}{x^4-5x^3+9x^2}\right)dx=\frac{x^2}{2}-2x+\int \frac{8x^2-19x+18}{x^4-5x^3+9x^2}dx+C=\frac{x^2}{2}-2x+\int \frac{8x^2-19x+18}{x^2(x^2-5x+9)}dx+C=\frac{x^2}{2}-2x+\int \frac{2(x^2-5x+9)-x(x^2-5x+9)+(x+1)x^2}{x^2(x^2-5x+9)}dx+C=\frac{x^2}{2}-2x+\int\left(\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x}+\frac{x+1}{x^2-5x+9}\right)dx+C=\frac{x^2}{2}-2x-\frac{2}{x}-ln|x|+\frac{ln(x^2-5x+9)}{2}+\frac{7arctan\left(\frac{2x-5}{\sqrt{11}}\right)}{\sqrt{11}}+C$
这就是不定积分的全部内容了，下面给大家几道练习题：
- $\int tanxdx$
- $\int sin(ax+b)dx$
- $\int \frac{x}{1+x^4}dx$
- $\int \frac{1}{a^2-x^2}dx$
- $\int \sqrt{a^2-x^2}dx$
- $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx$
- $\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx$
- $\int x^3lnxdx$
- $\int x^2e^xdx$
- $\int e^xsinxdx$
- $\int \frac{x+2}{x^2-1}dx$
- $\int \frac{x+8}{x^2+6x+13}dx$
定积分
定积分的定义：$f(x)$在$[a,b]$上的函数图像的面积（这并不是定积分严格的定义，为了让大家好理解，把它写成这样了。原来的定义是：$\int_a^b f(x)dx=\lim \limits_{mesh\to 0} f(c_j)(x_j-x_{j-1})$，其中$a=x_0<x_1<\cdots \cdots<x_n=b$且$\forall j\in [1,n],j\in \Z,c_j\in [x_j-1,x_j]$）
举个例子，$\int_a^bxdx=(a+b)*(a-b)/2$，直接画出图像，用梯形的面积计算即可定积分的性质
- $\int_a^b f(x)dx=-\int_b^a f(x)dx$
- $\int_a^a f(x)dx=0$
- $\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx$
- $\int_a^b Cf(x)dx=C\int_a^b f(x)dx$
- $\int_a^b(f(x)+g(x))dx=\int_a^bf(x)dx+\int_a^bg(x)dx$
定积分的这些性质都很显然，按照定义来看就知道了
微积分基本定理
微积分的第一基本定理
$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt=f(x)$
这个式子还是很显然，不行的自己画个图
我们把形如$\int_a^x f(t)dt$的式子，我们称为变上限积分
微积分的第二基本定理
$\int_a^b f(x)dx=\int f(b)dx-\int f(a)dx$
在知道微积分的第一基本定理后，我们就能很容易地推出微积分的第二基本定理了，现在知道这两个看似无关的东西的关联了吧？
定积分的内容比较少，因为它的计算就是通过微积分的第二基本定理，计算出该函数的不定积分，再相减，得出定积分。因此，我也没有给大家练习题了。这就是本篇文章的全部内容了，因为我的能力有限，写得不好的地方请大家多多包容。
参考材料：
1、《普林斯顿微积分读本》Adrian Banner 著 杨爽 赵晓婷 高璞 译