1、导数的定义

导数，又名导函数值，是微积分中的重要基础概念。当函数 $y=f(x)$ 的自变量 $x$ 在一点 $x_0$ 处产生一个增量 $\Delta x$ 时，函数输出值的增量 $\Delta y$ 与自变量增量 $\Delta x$ 的比值在 $\Delta x$ 趋于 $0$ 时的极限 $a$ 如果存在， $a$ 即为在x0处的导数，记作 $f’(x_0)$ 或 $\frac{df(x_0)}{dx}$ 。导数的几何意义为： $f’(x)$ 表示函数曲线在点 $(x,f(x))$ 处的切线的斜率。——百度百科（有删改）

2、导数的运算

从导数的定义我们可以看出 $f’(x)=\lim \limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$
所以我们可以从这个式子出发，得出导数的四则运算

(1)加（减）法

$(f(x)\pm g(x))’=\lim \limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{(f(x+\Delta x)\pm g(x+\Delta x))-(f(x)\pm g(x))}{\Delta x}=\lim \limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\pm\lim \limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}=f’(x)\pm g’(x)$

(2)乘法

$(f(x)\times g(x))’=\lim \limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)\times g(x+\Delta x)-f(x)\times g(x)}{\Delta x}=\lim \limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)\times g(x+\Delta x)-f(x+\Delta x)\times g(x)+f(x+\Delta x)\times g(x)-f(x)\times g(x)}{\Delta x}=\lim \limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)\times(g(x+\Delta x)-g(x))+(f(x+\Delta x)-f(x))\times g(x)}{\Delta x}=f(x)\times\lim \limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}+g(x)\times\lim \limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=f(x)\times g’(x)+f’(x)\times g(x)$

(3)除法

$f’(x)=\left(\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)\times g(x)\right)’=\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’\times g(x)+\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)\times g’(x)$
$\therefore \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\frac{f’(x)-\left(\frac{f(x)\times g’(x)}{g(x)}\right)}{g(x)}=\frac{f’(x)g(x)-f(x)g’(x)}{g^2(x)}$

除了四则运算之外，还有一些其他的运算

(4)复合函数求导

$(f(g(x)))’=\lim \limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{\Delta x}=\lim \limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{g(x+\Delta x)-g(x)}\times\lim \limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}=f’(g(x))\times g’(x)$

(5)反函数求导

设 $f^{-1}(x)=g(x)$
$g’(x)=\lim \limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}=\lim \limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{1}{\frac{\Delta x}{g(x+\Delta x)-g(x)}}=\lim \limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{1}{\frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{g(x+\Delta x)-g(x)}}=\frac{1}{f’(g(x))}$

3、基本初等函数求导

这里列出 $6$ 大基本初等函数的导数，证明过程就省略了~~原因是LaTeX太难打了~~，幂函数稍微难一点，其他的都是用定义证明，具体的证明过程可以在网上搜索

(1)常数函数

$f(x)=C$ ， $C$ 为常数
$f’(x)=0$

(2)幂函数

$f(x)=x^a$
$f’(x)=ax^{a-1}$

(3)指数函数

$f(x)=a^x(a\in\R^+)$
$f’(x)=a^xlna$

(4)对数函数

$f(x)=log_ax(a\in\Z^+,a\ne 1)$
$f’(x)=\frac{1}{xlna}$

(5)三角函数

$f(x)=sinx,g(x)=cosx,h(x)=tanx$
$f’(x)=cosx$
$g’(x)=-sinx$
$h’(x)=\frac{1}{cos^2x}=sec^2x$

(6)反三角函数

$f(x)=arcsinx,g(x)=arccosx,h(x)=arctanx$
$f’(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$g’(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$h’(x)=\frac{1}{1+x^2}$

一个诡异的函数

$f(x)=x^x$ 这个函数这么求导呢？
我们只需要一步神奇的操作就可以了，看好了，千万不要眨眼
$f’(x)=\left(e^{ln\left(x^x\right)}\right)’=\left(e^{xlnx}\right)’=e^{xlnx}\times(xlnx)’=e^{xlnx}\times(1+lnx)$

练习题

我：在本篇的末尾，我给大家出四个求导的练习题
读者：我最擅长微积分了，各种导数我都会求，你出的是什么水题，快拿来看看
我：先来个最简单的
$(sin(cos(sin(cose^x))))’$
我：有没有被吓到？
读者：没有，这不是很简单吗，一层层算就好了
我：没有？再来一个，保证吓死你
$sin(tanx+cosx)\times e^{x^2sinx+\sqrt{x^2+1}}$
读者：好了，我输了
我：不，我还没写分母呢！
$\left(\frac{sin(tanx+cosx)\times e^{x^2sinx+\sqrt{x^2+1}}}{e^xsin(x^2+3)+\sqrt{x^2+1}\times tanx}\right)’$
读者：什么！这个玩意儿能求导！？
我：能呀，我算过，再来一个
$\left(\frac{3x^2+5x^3sin2x+7e^{x^2+6x+sinx}+8ln(e^x+e^{\sqrt{5sinx+1}})}{ln(e^{5x}+sin(cose^x))\times(3x^2cosx+e^xsin(3x+1))}\right)’$
我：呀！你怎么了？你不会是晕了吧？
读者：突然感觉数学好难，我放弃了
我：别急呀，还有一道题呢！
$\left(\frac{\left(lnx^3+6xcos(sinx)\right)\left(arctan\left(l(x)e^xsin(tanx)\right)\right)}{e^{sin^2(xcosx)}ln^2(xarctanx)(x^2+1)}\right)’$
我：卧槽！你怎么了？同志，醒醒！
读者：我是谁？我在哪里？我在干什么？

如果有人能做出这道题，可以私信给我，要求要有过程，来证明你不是抄的，你将会获得一些奖励